Levelüket hamarosan személyesen adják át a Magyar Állami Operaház vezetésének nevében. Claudoi Abbado első zeneóráit hegedűs édesapjától, Michelangelo Abbadótól kapta. Később a milánói konzervatórium hallgatója lett, ahol Antonio Vottótól vezényelni, Friedrich Guldától pedig zongorázni tanult. 1955 és 1958 között Bécsben Hans Swarowskynál tökéletesítette tudását, 1958-ban Koussevitzky-díjat, 1963-ban New Yorkban Mitropoulos-díjat nyert. A milánói Scala színpadán 1960-ban debütált, ezután a hatvanas években egyre-másra kapta a meghívásokat: 1960-ben a Bécsi Ünnepi Játékok, 1965-ben a Salzburgi Ünnepi Játékok egyik karmestere volt. Berlinben 1968-ban lépett fel először. 1967-től majdnem két teljes évtizeden át a milánói Scala állandó karmestereként dolgozott, később az intézmény művészeti vezetőjévé is kinevezték. 1971-ben Karl Böhm mellett Bécsi Filharmonikusok vezető karmestere lett, ennél a zenekarnál már 1965-től rendszeresen vendégszerepelt. 1978-ban megalapította az Európai Ifjúsági Zenekart, később a Gustav Mahler Ifjúsági Zenekart, illetve a Chamber Orchestra of Europe-ot. 1979-től 1987-ig a London Symphony Orchestra vezetőjeként tevékenykedett. 1986-ben visszatért Bécsbe és öt éven keresztül a Wiener Staatsopert vezette. 1989-ben az elhunyt Herbert von Karajan helyére lépett a Berlini Filharmonikusoknál. 1994-ben elvállalta a salzburgi Osterfestspiele művészeti vezetését is.
