Kurtág 1926. február 19-én született Lugoson (Románia). 1951-ben zongora és kamarazene, 1955-ben pedig zeneszerzés szakon szerzett diplomát. Ugyanebben az évben nyert Erkel-díjat, amelyet 1969-ben is neki ítéltek oda. 1957-58-ban Marianne Steinnél tanult Párizsban, valamint Darius Milhaud és Olivier Messiaen óráit látogatta. 1960-68-ig az Országos Filharmónia korrepetitora volt. 1967-ben a Zeneakadémia zongora-, majd kamarazene-tanára lett. 1971-től egy évet Nyugat-Berlinben töltött a DAAD Művészprogramjának keretében. 1973-ban Kossuth-díjas lett, 1985-ben pedig a francia állam tüntette ki.
1986-ban elhagyta a Zeneakadémiát, de 1993-ig még korlátozott számban tartott órákat ott. 1987-ben a müncheni Bajor Szépművészeti Akadémia és a Berlini Művészeti Akadémia tagjává választották. 1993-ban a "Grabstein für Stephan" és "Op. 27 No. 2 (Double Concerto)" című műveiért a Pierre Monacói Herceg Alapítvány zenei díját kapta. Ebben az évben Herder-díjat és Feltrinelli-díjat is kapott, valamint két évre meghívták a berlini Wissenschaftskollegbe, ahol a Berlini Filharmonikusokkal dolgozott.
Az 1994-es év további két elismerést hozott számára: az osztrák kormány európai zeneszerzőknek járó díját és a Denis de Rougemot-díjat az Európai Fesztiválok Szövetségétől. 1995-ben egy évet Bécsben töltött, komponált és mesterkurzusokat tartott a Bécsi Konzerthausban. 1996-ban Kossuth-díjjal tüntették ki életművéért, s még ebben az évben meghívást kapott a Sociéte Gaviniés-tól, a hágai Royal Conservatorytól, az utrechti Muziekcentrum Vredenburgtól, az amsterdami Concertgebouw NV-től, a Nederlandse Operától, a Schönberg Ensemble-tól, az Asko Ensemble-tól, az Orlando Quartettől, az Osiris Triótól és a Reinbert de Leeuwtől, hogy két évig Hollandiában dolgozzon.
1998-ban megkapta az osztrák államtól az "Österreichisches Ehrenzeichen"-t, az Ernst von Siemens Stiftung díját és az európai komponisták díját a "Fördergemeinschaft der Europäischen Wirtschaft"-tól. Másodszor is meghívták a berlini Wissenschaftskollegbe. 1999-ben két évre Franciaországba invitálta az Ensemble Intercontemporain, a párizsi Conservatoire, a Cité de la Musique és a Festival d'Automne a Paris. Ugyanebben az évben a Tudományért és Művészetért érdemérmet kapta Berlinben, 2000-ben pedig a John Cage-díjat New Yorkban. 2001 óta az Amerikai Művészeti és Irodalmi Akadémia tiszteletbeli tagja, és ebben az évben kapta meg a Hölderlin-díjat is a Tübingeni Egyetemtől. 2002-ben a Kurtág házaspár Franciaországban telepedett le.
