Bársony László 1969-ben szerzett diplomát a Zeneakadémián Lukács Pál osztályában. A Magyar Állami Hangversenyzenekar ? mai nevén Nemzeti Filharmonikus Zenekar ? szólóbrácsása és szólamvezetője volt 1967-től 2010-es nyugdíjba vonulásáig, emellett folyamatosan fellépett szólistaként Európa szinte minden országában.
Bársony László a Liszt-díjjal kitüntetett Új Budapest Vonósnégyes tagjaként 1986-tól 2005-ig bejárta a világ számos országát, az együttessel lemezre vette Beethoven, Brahms és Bartók összes vonósnégyesét, valamint Haydn és Spohr több tucat művét.
A Weiner Leó-emlékdíjat 2004-ben alapította a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem, miután Weiner Leó örököse, Schwartz Imréné végrendelete alapján az intézmény örökölte a zeneszerző hagyatékát és vagyonát. A pénz méltó felhasználására az egyetem kuratóriumot hozott létre, amelynek elnöke Vigh Andrea hárfaművész, a Zeneakadémia rektora, tagja Fekete Gyula és Kutnyánszky Csaba, a Zeneakadémia rektorhelyettesei, valamint Falvai Sándor zongoraművész.
