Somogyszentpálon született, középiskoláit a budapesti Madách Gimnáziumban végezte. Eisen Irénnél kezdett énekelni tanulni, Kutrucz Éva és Révhegyi Ferencné növendékeként 1972-ben diplomázott a Zeneakadémián. Tudását két nagyformátumú énekesnél, Moszkvában Jevgenyij Nyesztyerenkónál és Bécsben Hans Hotternél tökéletesítette. Az Operaházban Verdi Rigoletto című operájának Sparafucile szerepében debütált 1971-ben, ugyanebben az évben megnyerte a Karlovy Vary-i Dvorák-versenyt. 1972-ben a Magyar Állami Operaház ösztöndíjasa, 1973-tól magánénekese lett, s hamarosan a színház vezető basszistájaként tartották számon. 1974-ben a zwickaui Schumann-énekversenyen, 1976-ban a budapesti Erkel-versenyen és a Magyar Rádió dalversenyén ért el első helyezést, majd 1980-ban megnyerte a bécsi Wolf-, a következő évben Philadelphiában pedig a Pavarotti-versenyt.
Külföldön 1978-ban mutatkozott be, Mozart Szöktetés a szerájból című operájában Ozmin szerepét énekelte Hamburgban, négy évvel később Brüsszelben a Luisa Miller Walter grófját, ő maga innen számította nemzetközi pályafutását. Párizsban találkozott a neves operarendező Jean-Pierre Ponnelle-lel, aki rábízta A varázsfuvola Sarastrójának szerepét Salzburgban. Az Ünnepi Játékokon 1985-től lépett fel rendszeresen, a főpap szerepét énekelte Mozart halálának 200. évfordulóján, 1991-ben Zürichben is. Fellépett a többi közt a milánói Scalában, a londoni Covent Gardenben, Firenzében, Bolognában, Berlinben, Brüsszelben és Párizsban, rendszeresen szerepelt a bécsi Állami Operaházban, hangját az amerikai közönség is megcsodálhatta.
1983-ban kapta meg pályája egyik fontos szerepét, Gurnemanzot Wagner Parsifaljában, a bemutató a dirigens Ferencsik János utolsó munkája volt. 1991-ben a Zürichi Operaházat vezető Alexander Pereira – a milánói Scala, majd a firenzei operaház későbbi intendánsa – hívására a társulat tagja lett.
Lágy, meleg árnyalatú, mégis erőteljes, zengő hangja és a megjelenéséből áradó méltóság olyan jelentős basszus karakterek megformálására predesztinálta, mint Fülöp király (Verdi: Don Carlos) vagy Leporello (Mozart: Don Giovanni).
Sokan őt tartják minden idők egyik legnagyobb Kékszakállú hercegének,
Bartók Béla egyetlen operáját 1981-ben énekelte először a szintén akkor debütáló Hamari Júliával. Kiváló hangi adottsága mellett remek színészi képességekkel is rendelkezett. Nemcsak opera-, hanem koncerténekesként is nagy nemzetközi hírnevet szerzett, kiváló oratórium- és dalénekes is volt.
A sokoldalú művész a legkülönbözőbb korszakokban, stílusokban és nyelveken íródott művekben nyújtott kiválót, olyan kitűnő karmesterek dolgoztak vele, mint Claudio Abbado, Daniel Barenboim, Riccardo Chailly, Christoph von Dohnanyi, Nikolaus Harnoncourt, Lorin Maazel, Riccardo Muti vagy Kent Nagano. 1999-ben Grammy-díjat kapott A kékszakállú herceg vára felvételéért, ezen partnere Jessye Norman volt, a Chicagói Szimfonikusokat Pierre Boulez dirigálta. Sok zenekritikus ugyanakkor a Fischer Iván vezényletével, Komlósi Ildikóval és a Budapesti Fesztiválzenekarral rögzített felvételét tartja mértékadónak.
A világhírű basszus hangját a kritikusok sötét árnyalatokban gazdagnak és bársonyosnak tartották, amit ő születésével kapott ajándéknak nevezett.
Művészetét az elegancia, a partitúra iránti végtelen alázat, a szerzővel való partneri viszony jellemezte.
A sikeres pályához a tehetségen és szorgalmon kívül nélkülözhetetlennek tartotta a szerencsét is. Az állandó megújulás híveként az elfeledett vagy ritkán előadott művek újrafelfedezésére is nyitott volt. A legszívesebben a Kékszakállú, Sarastro és Leporello ruháját öltötte magára a színpadon, szerepálmát, Massenet Don Quijotéjét azonban már nem tudta valóra váltani.
Az éneklés mellett tanított is. 1978-tól három éven át a Zeneakadémián oktatott, majd a zürichi konzervatórium tanáraként tevékenykedett. Pályája későbbi szakaszában itthoni szereplései alkalmával szabadidejében – térítés nélkül – újra magántanítványokkal foglalkozott. Egy nyilatkozata szerint: „Tanítványaimtól az igazi fizetség az, ha a növendék meg tudja csinálni azt, amit szeretnék.”
Művészete elismeréseként 1986-ban Liszt Ferenc-, 1990-ben Kossuth-díjjal tüntették ki, 1987-ben érdemes művész lett. 1991-ben vette át a példaképének tartott Melis Györgyről elnevezett művészeti kitüntetést. 1997-ben beválasztották a magyar halhatatlanok közé, 2010-ben Budapest díszpolgára lett.
2009–2010-ben zongoraművész Judit lányával több magyar városban is előadták Schubert Téli utazás című dalciklusát. Budapesten utoljára 2010 júniusában, az évadzáró–nyárköszöntő gálaesten lépett fel az Operaházban. Polgár László 2010. szeptember 19-én halt meg Zürichben. Tiszteletére két hónappal később emléktáblát avattak a Dohány utcai zsinagógában. 2016-ban a Magyar Állami Operaház posztumusz örökös tagjává választották, Budapest VII. kerületében, egykori lakóháza falán nevét 2019 óta emléktábla őrzi.
Nyitókép: Polgár László a Magyar Állami Operaházban Monteverdi Poppea megkoronázása című operájában 1979-ben. Fotó: MTI/Horvát Éva
