Az ELTE Természettudományi Karának vegyész szakára járt, de 1947-ben egy feljelentés nyomán internálták, majd 1950-ben a recski munkatáborba került. 1953-as szabadulása után csak segédmunkásként dolgozhatott. Tanulmányait 1956 után folytathatta, diplomájának megszerzése után az iparban, vegyészmérnökként dolgozott. 1964-ben felvették a Színház- és Filmművészeti Főiskola rendezői szakára, ahol a nála alig két évvel idősebb Herskó János osztályába járt; diplomájának kézhezvétele után a Mafilm rendezője lett. A sokoldalú Böszörményi 1964-ben zeneszerzője volt az 58 másodperc című rövidfilmnek, főiskolásként több filmben szerepelt, így az Apa, a Szevasz, Vera és a nagy sikerű Ismeri a szandi mandit? című alkotásokban – utóbbinak, a felesége, Gyarmathy Lívia által rendezett filmszatírának a forgatókönyvírója is volt.
Rendezőként 1970-ben Illetlen fotók címmel készítette első dokumentumfilmjét egy fotószakkör működéséről, ezt pornográfia vádjával azonnal betiltották. A következő évben készült el első játékfilmje, a Madárkák; a két falusi lány pesti beilleszkedési próbálkozásait feldolgozó szatirikus alkotás már nagy sikert aratott, Böszörményi megkapta a magyar filmkritikusok díját a legjobb elsőfilmes rendezésért. Állandó alkotótársa felesége volt: a házaspár groteszk látásmódjával a hagyományoktól eltérő filmhumor megteremtésére tett kísérletet.
Böszörményi 1974-ben Autó címmel tragikomikus filmet forgatott, 1981-ben pedig a Szívzűr című groteszk vígjátékot, amely egy frissen végzett orvos vidéki beilleszkedését mutatta be. Az alkotás, amelyben Jirí Menzel világhírű cseh rendező is játszott, 1982-ben a Magyar Játékfilmszemle és a magyar filmkritikusok díját is megkapta. 1984-ben a több generáció együttélését boncolgató Egy kicsit én, egy kicsit te című vígjáték forgatókönyvírója volt. A két évvel később született Laura első magyar játékfilmként idézte fel az ötvenes évek internálótáborait.
Böszörményi Géza feleségével több dokumentumfilmet is készített. A legemlékezetesebb a részben saját élményeit is feldolgozó háromrészes Recsk 1950–53 – Egy titkos kényszermunkatábor története (1988), amelyben volt rabok és ÁVH-s őrök vallomásaiból rajzolódik ki az 1950-es évek törvénytelenségeinek egyik fejezete. Az alkotást a magyar filmszemlén a dokumentumfilm kategóriában a társadalmi zsűri fődíjával tüntették ki, megkapta a Színház- és Filmművészeti Főiskola hallgatóinak díját, majd 1989-ben az év legjobb európai dokumentumfilmjének járó Félix-díjat is elnyerte. A házaspár 1991-ben együtt készítette a „...hol zsarnokság van...” című dokumentumfilmet is, amelyben egy bíró emlékezik vissza az ötvenes évek igazságszolgáltatására.
A rendező az 1990-es években több játékfilm forgatókönyvét jegyezte. Ezek közül A csalás gyönyöre, amelynek rendezője felesége, zeneszerzője pedig Ennio Morricone volt, az érzelmi elbizonytalanodásról szól, a magyar–olasz koprodukcióban forgatott Vörös Colibri – ezt lánya, Böszörményi Zsuzsa rendezte – a rendszerváltás utáni Magyarország látlelete, s több nemzetközi fesztiválon aratott sikert. A Recsknek emléket állító, Gyarmathy Lívia által rendezett Szökésért (főszerepben a lengyel Daniel Olbrychskivel) Böszörményit 1997-ben a magyar filmszemle forgatókönyvírói díjával tüntették ki. Utolsó munkáját halála előtt egy évvel fejezte be, a lánya által rendezett Mélyen őrzött titkok című filmdráma forgatókönyvét jegyezte. (A 2021-ben elhunyt Böszörményi Zsuzsa Balázs Béla-díjas rendező, aki a szüleivel létrehozott BGB filmprodukciós cégben producerként is dolgozott, 1991-ben az Egyszer volt, hol nem volt... című filmjével elnyerte a legjobb külföldi filmnek járó diák Oscar-díjat.)
Böszörményi Géza művészi pályafutása elismeréseként 1986-ban Balázs Béla-díjat kapott, 1990-ben érdemes művész lett és Nagy Imre-díjat vehetett át, 1991-ben a Magyar Művészetért díjban részesült, 1992-ben megkapta a Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztjét. 1999-ben a Magyar Filmszemle életműdíjával, 2000-ben Gyarmathy Líviával együtt megosztott Kossuth-díjjal tüntették ki „nemzetközileg is elismert játék- és dokumentumfilm-rendezői, valamint forgatókönyvírói munkásságukért”. 2001-ben Magyar Örökség-díjjal ismerték el igazságfeltáró filmművészetét, 2004-ben az elsők között tüntették ki az újonnan alapított Magyar Mozgókép Mestere díjjal.
Böszörményi Géza 2004. augusztus 21-én halt meg Budapesten.
