Budapesten született, apja építészmérnök, anyja irodista volt. Nem akart színész lenni, filmrendezőnek készült, színpadra a József Attila Gimnázium színháztermében lépett először, Anne Frank naplójában Otto Frankot játszotta. Mivel sikere volt, érettségi után a Színház- és Filmművészeti Főiskolára jelentkezett, de nem vették fel. Ezután dolgozott betanított munkásként, segédmunkásként, anyagmozgatóként, miközben Varga Géza rendező társulatában színészkedett, első főszerepét a Fiúk, lányok, kutyák című darabban kapta.
A színművészetire 1961-ben vették fel, s 1965-ben végzett.
Még meg sem kapta a diplomáját, amikor Radó Vilmos, a kecskeméti Katona József Színház igazgatója, aki látta egyik vizsgaelőadását, meghívta Shakespeare Makrancos hölgy című színművének férfi főszerepére.
A bemutató nagy sikert aratott, ezt követően három évig volt a kecskeméti társulat tagja. Nagy szerepek sorát játszhatta el, többek között Dévay Camilla partnere lehetett A vágy villamosában.
1968-ban a Veszprémi Petőfi Színházba szerződött, ahol olyan színészek játszottak, mint Tánczos Tibor, Bitskey Tibor, Fogarassy Mária. Itt négy főszerepet kapott, az egyik Morvai István rendezésében Németh László Apáczaija volt. Ebben figyelt fel rá Both Béla, a Nemzeti Színház igazgatója, aki a társulatba hívta, de Szilágyi visszautasította az ajánlatot, mert a direktor nem tudta neki felsorolni, hogy milyen szerepekben számítana rá.
1969-ben a budapesti Thália Színház társulatának tagja lett, többek között Latinovits Zoltán, Dajka Margit, Inke László mellett, a fővárosban Csurka István Ki lesz a bálanya? című művében mutatkozott be. Négy év múlva felmondott, mert világhírű eposzokból készült színpadi adaptációkban kapott szerepet, s úgy vélte, hogy ezek a művek nem alkalmasak igazi jellemábrázolásra.
A József Attila Színházhoz szerződött, ahol ismét eljátszotta a Makrancos hölgy Petruchióját, 1977-ben innen szerződtette Marton Endre a Nemzeti Színházba, ahol olyan színészekkel állt színpadra, mint Cserhalmi György, Avar István, Ronyecz Mária, ragyogó szerepeket játszhatott, például Sütő András Káin és Ábel című drámájában Káint. Az intézmény művészeti vezetőjének 1978-ban Székely Gábort nevezték ki, aki nem osztott rá főszerepet, ezért ismét váltott.
1979-ben a Vígszínház művésze lett, ahol tizenegy évet töltött. Első premierje Csurka István Deficit című műve volt, talán legkiemelkedőbb alakítását Friedrich Schiller Don Carlosának Fülöp királyaként nyújtotta Szinetár Miklós rendezésében. Miután kifogytak alóla a nagy lehetőségek, barátsággal, főszereppel búcsúzva távozott a színháztól.
1990-től ismét a József Attila Színház, majd 1994-től újra a Nemzeti Színház tagja, 1997 és 2000 között az Új Színház művésze volt, itteni első szerepét Molnár Ferenc Az üvegcipő című színművében játszotta. 2003 és 2007 között a Soproni Petőfi Színház művészeti igazgatója, az intémény megszűnéséig, 2012-ig a Budapesti Kamaraszínház tagja volt, jelenleg a Soproni Petőfi Színház tagja.
Ötvenhét évad alatt csaknem 200 színpadi szerepet játszott el, melyek zöme jelentős főszerep volt. Idén februárban mutatták be a Veszprémi Petőfi Színházban a Stephen Hawking életéről szóló A mindenség elmélete című darabot, melyben a tudóst folyamatos belső vitára késztető Időt alakítja.
A film és a televízió is korán felfedezte.
1965-ben játszott Bacsó Péter filmjében, a Szerelmes biciklistákban, majd a Hideg napok című filmdráma egyik főszerepében volt látható 1966-ban. Száznál több játék- és tévéfilmben, sorozatban szerepelt, Oszi bátyámat alakította az Üvegtigris című sikerfilm mindhárom részében, s olyan alkotásokban tűnt fel, mint a Macskajáték (1974), a Guernica (1982), a Kisváros (1993), az Ámbár tanár úr (1998), az Európa expressz (1999), a Rendőrsztori (2000), az Eszter hagyatéka (2008), Kaland (2011).
Rendszeresen szinkronizál, számos alkalommal szólaltatta meg Walter Matthaut, Jean Renót, Philippe Noiret-t, Lino Venturát, Tom Wilkinsont és Richard Burtont, hangja a rádióban is gyakran hallható, főleg kabarékban.
Rendezőként első munkája Nódi Károly Nyitott ablak című darabjának tévéjáték-változata volt, majd Ira Levintől a Veronica szobája következett a Pesti Vigadóban 1987-ben. 1994-től több mint harminc előadást hozott létre, melyek között zenés darabok is vannak.
Készült róla portréfilm, írtak róla könyvet, saját tollából is született három. 2009-ben jelent meg Emlékszilánkok című kötete, melyben 65. születésnapja alkalmából írta meg versben addigi élete fontosabb pillanatait. 2011-ben látott napvilágot Gondolatmonológok címmel önéletrajzi könyve, szakmájáról, pályafutásáról ír a 2015-ben kiadott Katonai szakképzettsége: színész című könyvében.
Művészetét számos díjjal ismerték el.
1975-ben megkapta a Jászai Mari-díjat, 1982-ben érdemes művész lett, 1984-ben az Ajtay Andor-emlékdíjat vehette át, 1987-ben kiváló művész lett, 1996-ban megkapta a Magyar Köztársasági Érdemrend tisztikeresztje, 2002-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztje kitüntetést. 2007-ben Kossuth-díjjal tüntették ki erőteljes színészi alakításaiért és rendezői munkássága elismeréseként. 2010-től Örökös tag a Halhatatlanok Társulatában, 2018-ban Tolnay Klári-díjat kapott.
A Veszprémi Petőfi Színház idei évadában Szilágyi Tibor nyolcvanadik születésnapjának tiszteletére és ötlete alapján viszik színre Jerome Kilty Kedves hazug című darabját Oberfrank Pál rendezésében.
Nyitófotó: MTVA-gyűjtemény/Keleti Éva
