Kelemen Pál tanulmányait 1959 és 1965 között a budapesti Bartók Béla Zeneművészeti Szakiskolában végezte zeneszerzés és gordonka szakon, tanára Szelényi István és Frank Lajos volt. A budapesti Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskola hallgatója volt 1965-től 1970-ig, művész-tanári oklevelét Banda Ede növendékeként szerezte meg.
A Magyar Állami Operaház Zenekarának 1968 és 1972 között volt tagja, 1970-től 1999-ig a Liszt Ferenc Kamarazenekar csellistája volt.
Feleségével, Pertis Zsuzsa csembalóművésszel rendszeresen fellépett és több felvételt is készített, mellette rendszeres kamarapartnere volt Rolla János, Czidra László, Drahos Béla, Thomas Zehetmair és Falvai Sándor.
Kelemen Pál 1989-ben megalapította Magyarország első magán-koncertközvetítő irodáját, a Co-Nexus Concert (később Clemens Concerts) Kft.-t, amellyel olyan művészeknek szervezett Magyarországon hangversenyeket, mint Jean-Pierre Rampal, Fazil Say, Michael Stern, Thomas Zehetmair, Vásáry Tamás és Perényi Miklós.
Kelemen Pál háromévesen a gyermekbénulás 1948-as járványának esett áldozatául, és két járógéppel élte le életét, így jutott el egy kis somogyi faluból a világ egyik vezető kamarazenekaráig. A zenekar külföldi turnéinak menedzsere is volt, személyes jó barátjának mondhatott a fenti művészek mellett olyan világsztárokat, mint Msztyiszlav Rosztropovics, Isaac Stern, Henryk Szeryng, Maurice André, Cziffra György, Fischer Annie és Fenyves Loránd.
Kelemen Pál a Liszt Ferenc Kamarazenekarral száznál több lemezfelvételen játszott, ezek közül több tucat felvétel rangos nemzetközi lemezdíjat nyert. A család zenei hagyományait Kossuth-díjas hegedűművész fia, Kelemen Barnabás viszi tovább.
