René Burri szülővárosában, Zürichben tanult iparművészetet, ahol életre szóló útravalót kapott a Bauhaus iskola egyik úttörőjétől, a színdinamika megalapozójától, Johannes Ittentől, aki óriási hatással volt a művész későbbi munkáira. Burri 1953 és 1955 között dokumentumfilm-gyártásba kezdett (ekkor a Walt Disney operatőre), a fotózással pedig a kötelező katonai szolgálati idő alatt ismerkedett meg, ahol egy Leicával készítette az első felvételeket.
Burri 1955-ben, nyolc évvel az alapítás után lett tagja a Robert Capa, Henry Cartier-Bresson és David "Chim" Seymour fémjelezte Magnum fotóügynökségnek. A világraszóló hírnevet egy hétéves siketnéma fiúról készített felvétel hozta meg számára, amely a Life magazinban jelent meg. 1956-ban Burrri széltében-hosszában bejárta Európát (dolgozott az akkori Csehszlovákiában, Törökországban, Olaszországban, Spanyolországban, Franciaországban és Görögországban) és a Közel-Keletet, majd Latin-Amerikába ment, ahol a gauchók életéről (El Gaucho címmel) készített felvételeket a svájci Du magazin számára. Ugyanez a lap később a Picassóról, a szobrász Giacomettiről, és az építész Le Corbusier-ről készített képeket is megjelentette. A Magnum 1959-ben nyilvánította rendes tagjának a svájci fotóst, aki ezt követően több könyv kiadásába is belekezdett.
Burri kubai tartózkodása alatt találkozott Ernesto "Che" Guevarával, mialatt egy amerikai újságírónő 1963-ban interjút készített az argentin forradalmárral. Burri így emlékszik vissza az akkori eseményekre: "1958 végén a Magnum egy új szerkesztőt vett fel a Paris Match-tól, akit Michale Chevalier-nek hívtak. Rendkívül dinamikus egyéniség volt, mindig elküldött minket, hogy dolgozzunk. Éppen a Deux Magots-ban ültünk és iszogattunk, amikor megjelent Michael, s hirtelen kikapott a zsebéből egy Air France jegyet, s azt mondta, ez az enyém, menjek Kubába és tudósítsak a forradalomról. Mindössze hat hónap telt el az Argentínát, Perut, Bolíviát, Brazíliát és az Amazon vidéket felölelő utazásom óta, ezért inkább síelni vágytam, így visszautasítottam a felkérést. Michael erősködött, s a következőket mondta: "Ezt egész hátralevő életedben bánni fogod". Én továbbra is kitartottam az álláspontom mellett, s azzal nyugtatgattam magam, hogy nincs ott semmilyen nagy sztori. Amikor visszaérkeztem a síelésből, megpillantottam a szalagcímet: 'Fidel Castro Havanna felé tart', s rádöbbentem, hogy már fújhatom az egészet. Burt Glinn végül elment, s az egész eseményről ? Fidel havannai entrée-járól ? tudósított, én pedig mindenről lemaradtam".
Négy év múlva Burri kapva kapott az alkalmon, amikor a Disznó-öböli sikertelen amerikai invázió után a Look magazin felkérte őt, hogy készítsen felvételeket Kubáról. A fotóművész ebédjét be sem fejezve pattant fel asztalától, majd Zürichben felszállt a karib-tengeri országba tartó gépre ? a járat azonban késett, így félő volt, hogy Burri lemarad az eseményekről.
A svájci fotós így folytatja visszaemlékezésében: "Chevel egy amerikai riporterasszonyon keresztül ismerkedtem meg, akinek kapcsolatai voltak az Ipari Minisztériumban. Che volt a miniszter, és mi három vagy négy órát tölthettünk vele. Ekkor készítettem azt a híres képet, amikor hátradőlve a székben cigarettázik, miközben zajlik az interjú. Az volt a benyomásom róla, hogy nagyon beképzelt, habár azt gondolom, abban az időben én is az voltam. Emlékszem rá, ahogyan harci felszerelésében dühösen vitatkozik a riporternővel az amerikai politikáról ? viszont volt idő arra is, hogy végezzem a munkámat. Mint egy ketrecbe zárt tigris, úgy járkált föl és le?kedveltem őt, igen, kedveltem őt?"
Burri később részt vett a Magnum Film 1965-ös megalapításában, s a korábbi dokumentumfilmes tapasztalatát felhasználva hathónapos kínai útja alatt a BBC-vel koprodukciós filmet forgatott Kína két arca címmel. A Magnum párizsi galériáját az ő közreműködésével nyitották meg, de az eseménydús évek alatt sem feledkezett meg szenvedélyéről, a fotózásról ? miközben egyre-másra készített kollázsokat és festményeket.
A német fotószövetség 1998-ban a svájci művésznek ítélte az Eric Salomonról elnevezett díjat. 2004-2005-ben a párizsi Maison Européenne de la Photographie megrendezte Burri retrospektív kiállítását, amely később más európai nagyvárosba is eljutott, 2007 óta pedig latin-amerikai városok országok látják vendégül a művész életútjának legfontosabb darabjait.
