Művészcsaládból származik. Édesanyja Mednyányszky Henriett balettművész; édesapja Balázs János színész, rendező. Nagynénje-keresztanyja Mednyánszky Ági színművésznő. 1965-ben végzett a Színház- és Filmművészeti Főiskolán. Pályája a veszprémi Petőfi Színházban kezdődött, majd 1970-ben a budapesti Vígszínházban folytatódott, ahol 1989-ben rendezőként is feladatot kapott. 1995-től szabadfoglalkozású színész.
Főleg komikus szerepeiről ismert, több filmben is játszott, és népszerű szinkronszínész. Többek között Tapsi Hapsi, Dodó Kacsa magyar hangja, és Luis De Funes-t és Danny DeVito-t is ő keltette életre.
A szolnoki önkormányzat, a szakmai testületek jelöltje ellenében, 2007-ben a Szolnoki Szigligeti Színház igazgatójává nevezte ki. 2011-ben a közgyűlés további négy évvel meghosszabbította mandátumát.
2013-ban, Eszenyi Enikő mellett megpályázta a Vígszínház igazgatói székét. Első körben a főváros mindkét pályázatot érvénytelennek nyilvánította. Balázs Péter 2014. január 3-án bejelentette, hogy nem pályázik ismét a Vígszínház igazgatói posztjára. Ezt így indokolta: ?Hiszem, hogy az én polgári színházi törekvéseimnek helye van a főváros színházi életében, de azt nem szeretném, hogy elképzeléseim politikai csatározásokra adjanak okot, a Vígszínház régi rangja és méltósága, a közönséggel évtizedek alatt kialakított kapcsolata ne szenvedjen kárt. E gondolat jegyében határoztam így?.
(Forrás:wiki)
