Budapesten született pedagógus szülők gyermekeként. Édesapja, Fehér Tibor több verseskötetet és ifjúsági regényt is írt. Felmenői között van Szacsvay Imre, az 1848–49-es szabadságharc mártírja, a Függetlenségi nyilatkozat megfogalmazója és felolvasója, továbbá Szacsvay Imre, a 19. század második felének jeles Shakespeare-színésze, a Nemzeti Színház örökös tagja.
A versek szeretete terelte a színház felé. A Színház- és Filmművészeti Főiskolán 1971-ben végzett. Diplomáját kézhez véve a Nemzeti Színházhoz szerződött, ahol egyik nagy szerepet kapta a másik után, a Nemzeti egyik vezető színésze lett.
1982-ben az újonnan létrehozott Katona József Színház alapító tagja lett.
Olyan előadásokban lépett színpadra, mint Csehovtól a Három nővér, a Platonov; az Ahogy tetszik, a Julius Caesar, A vihar és a Szeget szeggel című Shakespeare-művek; Jarry Übü királya, Ibsentől A vadkacsa, Euripidész Médeia című műve, Spiró György Koccanása, Gorkij Barbárok című drámája, A kétfejű fenevad című Weöres Sándor-mű vagy Tersánszky Józsi Jenő és Grecsó Krisztián Cigányok című darabja, Kerékgyártó István Rükverce, Peter Weiss M/S című drámája, Borbély Szilárd Az olaszliszkai című műve, Sarkadi Imre Oszlopos Simeonja, a napjaink kivándorlásáról szóló Illaberek, Slobodzianek A mi osztályunk című megrázó darabja, Csehov Sirálya, Molière A nők iskolája című drámája, Shakespeare Minden jó, ha vége jó című vígjátéka vagy Puskin Borisz Godunovja.
A színházban jelenleg Fejes Endre és Tasnádi István Rozsdatemető 2.0 című drámájában, a Turgenyev Apák és fiúk című regénye alapján készült színdarabban, valamint a Moszkva–Peking Transzszimfónia című előadásban szerepel.
Több hangszeren, hegedűn és zongorán is játszik, zenei tudását számos darabban megcsillogtatta.
A többi közt a Mi ez a hang? (Dzsessztetés) című előadásban, amelyben a Katona színészei a megszokottól eltérően elsősorban zenéltek és énekeltek.
Tíz éven át lépett fel a Budapest Orfeum című zenés összeállításban Császár Angelával és Benedek Miklóssal kuplékkal és sanzonokkal. Az előadás zenei anyaga hanglemezen is megjelent. 2013-ban a Sufniban Pianínó címmel mutatták be Szép Ernő-estjét legjobb barátja, Benedek Miklós rendezésében. Mindezek mellett fellépett több olyan előadásban is, amelyet Bozsik Yvette koreografált.
Gyakran szerepel más színházak produkcióiban. Színpadra állt a Ruttkai Éva Színházban, a Turay Ida Színházban, a Karinthy Színházban, az Orlai Produkció előadásaiban, valamint a Budapesti Operettszínház 2018-ban bemutatott Jacques Offenbach Kékszakáll című nagyoperettjében is.
Több tucat filmben, olyan alkotásokban láthatta a közönség, mint a Nem élhetek muzsikaszó nélkül, a Szívzűr, a Nyom nélkül, a Te rongyos élet, a Csapd le csacsi, a Megint tanú, a Presszó, a Zimmer Feri, a Kalózok, a Hippolyt, a Perlasca – Egy igaz ember története, az S.O.S. Szerelem, a De kik azok a Lumnitzer nővérek?, a Casting minden, a Tüskevár című családi film vagy a világhírű magyar mentőkutya történetét bemutató Mancs.
Állandó szereplője volt az Életképek című tévésorozatnak, amelyben kutyájával, Báróval tűnt fel hetente a képernyőn, játszott a Kossuthkifli című televíziós roadmovie-ban, és szerepel a Keresztanyu című tévésorozatban is.
Szinkronszerepei mellett rajzfilmfiguráknak is kölcsönözte hangját, köztük a Micimackó Nyuszijának vagy a Macskafogó 2. Harvey-jának. Több hangoskönyve is megjelent, szívesen olvasta fel Gerald Durrell Állati történeteit vagy P. G. Wodehouse írásait.
A kiváló karakterszínész inkább csapatembernek, mint szólistának tartja magát.
Véleménye szerint egy jó mondat vagy nézés sokszor ér annyit, mint ha valaki elmond nyolcvan oldalt, de senkit nem érint meg. A pályán számára fontos az alázat, a pontosság, a kollegialitás és a partnerre való odafigyelés, valamint a lámpaláz leküzdése. Ő maga színpadra lépésre várva sakkozik vagy keresztrejtvényt fejt. Mindezek mellett sokra tartja a humort és az öniróniát.
1977-ben Rajz János-, a következő évben Jászai Mari-díjjal tüntették ki, 2001-ben érdemes művész, 2013-ban kiváló művész lett. 2014-ben a nyíregyházi Vidor Fesztiválon megkapta a szakmai zsűri által odaítélt életműdíjat, 2015-ben a Nemzet Színészének választották. A Katona József Színházban a társulat szavazatai alapján a legjobb, harminc mondatnál kevesebb szöveggel járó alakításért odaítélt PUKK-díjat két alkalommal (2002, 2016) is elnyerte. 2018-ban Budapestért díjban részesült. 2021-ben a Halhatatlanok Társulatának örökös tagja lett, és Prima-díjat kapott. 2022-ben Páger Antal-színészdíjjal tüntették ki.
Szacsvay László idén ősszel Hevér Dániel első mozifilmjének egyik főszereplőjeként állt a kamera elé. A Valami madarak egy generációkon átívelő barátságról és az öregedés feldolgozásáról mesél humorral és szeretettel.
Fotó: MTI/Kallos Bea
