Édesapja, a lengyel származású Wosinsky István az 1830. évi forradalom után mint gyógyszerész emigrált, s utóbb Pesten telepedett le, ahol befejezte orvosi tanulmányait. Közel 50 évig működött Tolnán, ahol 1896-ban meghalt. Wosinsky Mór tanulmányait a kalocsai gimnáziumban kezdte, majd a hatodik osztályból a papi pályára lépett. 1871-től a pécsi papnevelő intézetben filozófiát és teológiát tanult. 1877-ben pappá szentelték. 1872-től Gödrén, 1879-től Aparon, 1881-től Lengyelen plébános. A helységben új iskolát építtetett.
Egyházi és irodalmi tevékenysége mellett itt kezdett régészeti kutatással is foglalkozni, és gróf Apponyi Sándor támogatásával nagyszabású ásatásokba kezdett. Ennek eredményeként a bécsi kongresszus idején (1886) 12056 db lelettárgyat mutattak be. Megtalálta az itt tanyázott troglodyta kőkori nép földbe vájt kerek lakóüregeit, szerszámok, edények, eszközök ezreivel, de megtalálta az ősi nép két nagy temetőjét is. Hazai és külföldi lapokban ismertette felfedezéseit, majd bemutatta azokat 1889-ben Bécsben és ugyanabban az évben Párizsban is előadások keretében. 1890. december 9-én a Magyar Tudományos Akadémián tartott felolvasást Az őskorszak zsugorított helyzetű temetkezéséről címmel. Csakhamar a lengyeli ásatások híre külföldön is elterjedt, ezentúl a tudósok sokat látogatták. Hat évig (1882-1888) folytatta lengyeli ásatásait és azok leírását.
A lengyeli őskori telep feltárása után régészeti szempontból egész Tolna vármegyét átvizsgálta. Közben 1885-től Závodon, 1887-től Aparon, 1894-től Szekszárd belvárosban plébános. 1890-től bonyhádi kerületi esperes, 1901-től madocsai címzetes apát. Az 1880-as években régészeti tanulmányok céljából beutazta Németországot, Dániát, Svédországot és Norvégiát. 1887-ben felkereste Egyiptomot, Törökországot, Görögországot és a Szentföldet. 1895 áprilisától augusztus közepéig részt vett gróf Zichy Jenő kaukázusi expedíciójában. Amikor az általános nagy millenniumi lelkesedéshez csatlakozva Tolna vármegye is elhatározta saját történetének megírását, a honfoglalást megelőző időszak elkészítését Wosinsky vállalta. Ekkor határozta el, hogy létrehozza a megye önálló múzeumát. Végül hosszas harc után elérte, hogy - ideiglenes megoldásként - az új gimnázium még üresen álló termeiben helyezzék el az általa és Apponyi Sándor által múzeumi célra felajánlott több ezer régészeti tárgyat. Határozott és céltudatos munkájának eredményeként 1902-ben végre megnyitotta kapuit a neves építészpáros - Herzog Fülöp és Schickedanz Albert - tervei alapján készült, neoreneszánsz múzeumpalota. Az intézmény első igazgatójává őt nevezték ki. Múzeumi tevékenységét, tudományos munkásságát 1907-ben korai halála szakította félbe.
1890-től a müncheni antropológiai társaság levelező tagja. 1891-től a római Accademia Arcadica tagja. Az MTA levelező tagja 1902. május 9-től. Akadémiai székfoglalóját Az őskor mészbetétes díszítésű agyagművessége címmel 1903. december 7-én tartotta.
Fő művei: Etruszk bronzedények Kurdon. Archaeologiai Értesítő, 1885.; németül Ungarische Revue, 1885.; Leletek a lengyeli őskori telepről. I-II. Bp., 1885-90., németül I-II. 1888-90.; A kölesdi őstelep. Archaeologiai Értesítő, 1889.; A bonyhádvidéki bronzlelet. Archaeologiai Értesítő, 1890.; Prehistorikus talpköves edények. Archaeologiai Értesítő, 1891.; A lengyeli telep agancs- és csonteszközei. - A lengyeli telep csiszolt kőeszközei s azok készítési módja. Archaeologiai Értesítő, 1893.; Tolna vármegye története. I-II. Bp., 1896.; Az őskor mészbetétes díszítésű agyagművessége. Bp., 1904; németül Berlin, 1906.
Róla szóló irodalom: Haugh Béla: Wosinsky Mór életrajza. Szekszárd, 1908.; Ortvay Tivadar: Emlékbeszéd Wosinsky Mór levelező tag fölött. Bp., 1908.; Alföldi András: Emlékezés Wosinsky Mórról. Budapesti Szemle, 1938.; Wosinsky Mór és a szekszárdi múzeum. Szekszárd, 1966.; Szilágyi Miklós: Wosinsky Mór a Kaukázusban. Dunatáj, 1980.; Vadas Ferenc: A múzeumalapító. Dunatáj, 1994.; Wosinsky Mór szakfelügyelői tevékenysége és a századforduló vidéki múzeumai. Kiad., bev. Kőhegyi Mihály, Szabó Géza. Wosinsky Mór Múzeum Évkönyve, 1996.; Solymár Imre: 'A jeles pap, a kitűnő férfiú, a nagy tudós elejtett áldozata lőn a vallási-politikai harcnak.' Wosinsky Mór és a Perczel Dezső-féle reverzális-affér (1894). Wosinsky Mór Múzeum Évkönyve, 1996.
