1905. november 17-én Kispesten született. Először úszni szeretett volna, de az uszoda nagyon messze volt kispesti otthonától, ezután próbálkozott birkózással, majd hosszútávfutással, végül az ökölvívás mellett kötött ki. Mivel Kispesten éppen megszűnt a szakosztály, 1923-ban a kőbányai Magyar Királyi Állami Vas-, Acél- és Gépgyárak Sportegyesületben (MÁVAG SE) kezdett bokszolni. A figyelmet 1924 végén hívta fel magára, amikor a Budapest-bajnokság légsúlyú (51 kg) döntőjében megverte a későbbi legendás mesteredző Adler Zsigmondot. Ettől kezdve az FTC-ben versenyzett, első magyar bajnoki címét 1926-ban szerezte légsúlyban, ezt 1927-ben és 1928-ban is megvédte. Ez alatt a három év alatt idehaza senki nem tudta legyőzni; 1927-ben a Beketow Cirkuszban rendezett összecsapáson – ahol az amatőr válogatott és a profi bokszolók mérték össze tudásukat – kiütötte ellenfelét.
A magyar válogatottban 1925-től szerepelt, 1927-ben a berlini Európa-bajnokságon a második helyen végzett. Az 1928-as amszterdami olimpián ért fel pályafutása csúcsára, mind a négy mérkőzését megnyerve a dobogó legfelsőbb fokára állhatott fel. Szerencsés sorsolásának köszönhetően elkerülte a legveszélyesebbnek tartott amerikai bokszolókat, egy spanyol és egy német versenyző legyőzése után az elődöntőben az olasz Cavagnoli volt legkeményebb ellenfele, akiről azt mondta: „amikor megütött, azt hittem, lerepül a fejem”.
A fináléban a francia Armand Apell várt rá, az összecsapás idehaza politikai fennhangot is kapott: a sajtó úgy harangozta be, hogy Kocsis bosszút állhat Trianonért. Az első két menet után még az erősebb francia vezetett, de a harmadik menetben már nem bírta a Kocsis által diktált őrületes tempót, a rá záporozó ütések nyomán nem sokkal a végső gongszó előtt térdre is kényszerült. A bírók három percnyi tanácskozás után pontozással Kocsist hozták ki győztesnek, akit a magyar drukkerek nyakukban hordoztak körül a teremben. Az öltözőben a Nemzeti Sport beszámolója szerint könnyeivel küszködve ezt írta egy papírlapra: „A trianoni békeszerződésért... Éljen Magyarország!”
Győzelmével nemcsak a magyar ökölvívó sport első olimpiai bajnoka lett, hanem az akkori szabályok szerint – mivel értelemszerűen az európaiak közül is ő lett a legjobb – az első magyar ökölvívó Európa-bajnok is.
Diadalmenetre hasonlító hazatérése után, mivel az asztalosiskolát nem fejezte be, ösztöndíjat kapott, és irodai munkája mellett az érettségire kezdett készülni. Az olimpia után harmatsúlyra váltott (54 kg), 1929-ben e súlycsoportban lett magyar bajnok, 1930-ban – 1928 után másodszor – csapatban is bajnok lett. Anyagi gondjai nem szűntek meg, így 1929 elején egy sérülésből lábadozva aláírt egy hivatásos bécsi szerződést. Emiatt profinak minősítették, és hiába nem vívott egy mérkőzést sem, fél évre eltiltották.
1930-ban megélhetési okok miatt végleg profinak állt, Németországban, majd Tony Kocsis néven az Egyesült Államokban szerepelt. 1931 nyarán négymérkőzéses hazai turnét kötöttek le neki, a Millenárison legyőzte a német légsúlyú bajnokot. A hivatásosok között 1935-ös visszavonulásáig 40 mérkőzést vívott (22 győzelem, ebből 4 KO, 5 döntetlen és 13 vereség), a világranglistán legjobb helyezése negyedik volt.
Pályafutásának befejezése után visszavonulva élt Floridában, szabóként dolgozott. Magyarországra 1965-ben tért vissza először egy rövid látogatásra, 1992-ben sportpályafutásának tárgyait a budapesti Testnevelési és Sportmúzeumra hagyta. Élete végét súlyos betegen a floridai Titusville-ben, egy öregek otthonában töltötte. 1994. október 25-én hunyt el, hamvait végakaratának megfelelően az óceánba szórták. A magyar ökölvívás első olimpiai bajnokának szülőházán, a kispesti Wekerle-telepen 1996-ban helyeztek el emléktáblát, az FTC olimpiai sétányán 1999-ben állítottak neki mellszobrot.
