1939. augusztus 11-én született Balatonfűzfőn. A zene iránti érdeklődését édesanyjától örökölte, aki hegedülni tanult és szeretett énekelni. Gyerekkora óta vonzotta az opera műfaja, és bár szülővárosában nem volt opera-előadás, rádión hallgatta a zeneműveket, filmen látta a Trubadúrt és a Traviatát. Tízévesen már furulyázott, klarinétozott, szaxofonozott és zongorázott – harmincévesen tanult meg citerázni és csőrfuvolán játszani, és Európa szinte valamennyi országában fellépett e két hangszerrel, műsorán saját művei szerepeltek. A Gulyás György által életre hívott, Bartók Béla és Kodály Zoltán szellemiségét képviselő legendás békés-tarhosi énekiskolában tanult; az intézmény megszüntetése után, 1954-ben a budapesti Bartók Béla Zeneművészeti Szakközépiskola klarinét és zeneszerzés szakán folytatta tanulmányait. 1962-ben végezte el a Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskolát Farkas Ferenc zeneszerző tanítványaként, akit egész pályafutása alatt mesterének tekintett.
Ezután a szegedi zeneművészeti szakiskola zeneszerzés- és -elmélet tanára, majd a Magyar Rádió kamarazenei szerkesztője lett. 1965-ben Durkó Zsolttal közös szerzői esten mutatta be műveit Budapesten. Két évvel később UNESCO-ösztöndíjasként fél évet Párizsban töltött, ahol számos, későbbi munkásságát meghatározó élmény érte, megismerkedett a legújabb zenei törekvésekkel, és maga is alkalmazni kezdte az improvizációt. 1979-ig szabadúszó zeneszerzőként tevékenykedett, majd a Zeneakadémia hangszerelés és zeneszerzés tanára lett.
Első alkotói korszaka az 1953–1957 közötti évekre esett, ekkor született művei a folklorizmus és neoklasszicizmus stílusjegyeit hordozták magukon. Jelentősebb kompozíciója ebből az időből a Séta meseországban című egyfelvonásos balettje, valamint a Medáliák című zongoraciklus. Utóbbiban már a dodekafónia használatával is megpróbálkozott, amely – a neoklasszicizmus mellett – 1958 és 1968 közötti második alkotói periódusát meghatározta.
A 70-es években kezdődött harmadik alkotói korszaka, amelyben a dodekafónia továbbfejlesztésének lehetőségeit kutatta. Műveiben egymás mellé került a konstruktív matematikai rend és a rögtönzés játékossága. Sajátos hangzáseffektusokkal kísérletezett, bár kifejezetten elektronikus zenét nem komponált. Ekkor írta Vörösmarty műve nyomán a Csongor és Tünde című operáját, közben egy új, tízhangos hangrendszert dolgozott ki.
Bozay kompozíciói a hatvanas évektől sikereket arattak a párizsi zeneszerzői rádiós seregszemlén, a Nemzetközi Kortárs Zenei Társaság (ISCM) londoni, brüsszeli, grenoble-i fesztiválján, a Zágrábi Biennálén, illetve a Varsói Ősz fesztiválon. Itthon több darabját is Ferencsik János vezényletével mutatták be, a Csongor és Tünde premierjén Mihály András dirigált. Az öt utolsó szín című alkotásával megnyerte az 1997-ben meghirdetett millenniumi operapályázatot, de Az ember tragédiája alapján készült mű bemutatóját már nem érhette meg. További főbb alkotásai a Pilinszky János inspirálta Trapéz és korlát című kantáta, a Károlyi Amy nyomán született Lux Perpetua című motetta, amellett komponált vonósnégyeseket, szimfonikus műveket, versenyműveket, többek közt citerára. Barátság fűzte a költő Weöres Sándorhoz és Fodor Andráshoz, megihlették József Attila, Radnóti Miklós, Petőfi Sándor, Arany János, Vajda János, Balassi Bálint versei is. Írt mozgalmi jellegű kompozíciókat (A Magyar Demokrata Fórum dala), valamint egyházi népénekeket; több terve – köztük egy Weöres-oratórium – már nem valósult meg.
Bozay Attila 1988 és 1991 között a Magyar Zeneszerzők Egyesületének elnöke, 1990-től 1993-ig a Nemzeti Filharmónia igazgatója, 1992 és 1996 között a Magyar Zenei Kamara elnöke, 1992-ben a Magyar Művészeti Akadémia egyik alapító tagja volt. Munkásságát egyebek közt Bartók Béla–Pásztory Ditta-díjjal (1988) és Magyar Művészetért díjjal (1992) ismerték el, kétszer vehette át az Erkel Ferenc-díjat (1968, 1979), megkapta az Érdemes Művész címet. 1990-ben Kossuth-díjjal tüntették ki, 2009-ben életművéért posztumusz Magyar Örökség díjat ítéltek oda számára. Bozay Attila 1999. szeptember 14-én hunyt el Budapesten. Hagyatéka 2014-ben a Zenetudományi Intézethez került.
