Örmény szülei az Egyesült Államokba akartak kivándorolni, de végül Párizsban telepedtek le, fiuk itt született Shahnour Varenagh Aznavourian néven. Kisgyermek korától vonzotta a színészi pálya, tízévesen már mulatókban lépett fel, gyermekszínészként is dolgozott, közben zeneszerzést tanult, zongora-, szaxofon- és gitárórákat vett. Már elmúlt harmincéves, amikor a Moulin Rouge-hoz került, s tagja lett a francia sanzon legnagyobb egyéniségét, Édith Piafot kísérő együttesnek. Az énekesnő – akinek sofőrje is volt egy időben – indította el zenészi pályáján.
Aznavour kezdetben saját dalait adta elő, de nem igazán aratott sikert, a rádiók tíz évig nem voltak hajlandók lejátszani túl merésznek minősített szerzeményeit. Csak az ötvenes évek végén lett ismert szélesebb körben, megkapta első lemezszerződését, és 1957-től elkezdett filmezni is. Utóbbi hozta meg számára az igazi hírnevet, pontosabban a francia új hullám rendezői által rá osztott szerepek. 1960-ban André Cayette Átkelés a Rajnán (Rajnán túl) című filmje főszerepéért Cannes-ban elnyerte a legjobb férfialakításért járó díjat. Világszerte nagy sikert aratott a vásznon François Truffaut Lőj a zongoristára és Jean Cocteau Orfeusz testamentuma című filmjeinek főszerepében.
Magyarországon is bemutatták az 1962-ben készült Az ördög és a tízparancsolat, az 1965-ös Egymilliárd a billiárdasztalban, az 1974-es Tíz kicsi indián, az 1979-es Bádogdob, valamint az 1982-es Kisvárosi fojtogató című filmjét. Több mint hatvan alkotásban láthatta a közönség; színészi teljesítményét nagyra értékelték még a kritikusok is, igyekezett egyszerű, de hatásos eszközökkel játszani.
Ő magát zeneszerzőnek tartotta, aki énekel is. Több mint ezer dalt komponált, sanzonénekesként pedig bejárta az egész világot, a francián kívül számos idegen nyelven is előadta dalait. Rengeteg szerzeménye közül talán a legismertebbek az angol nyelvterületen is listavezetővé vált She, a Dance In The Old Fashioned Way, a La Mamma, a Comme des étrangeres, a Sur ma vie, a Ce jour tant attendu és az Isabelle. Szenvedélyes előadásmódja és jellegzetes hangszíne azonnal felismerhetővé tette énekét.
Több mint száz lemeze jelent meg, ezekből több mint százmillió példány kelt el nyolcvan országban. Az életművét felölelő, 2014-ben kiadott gyűjtemény 32 CD-lemezt foglal el. Aznavour írt operettet, musicalt és filmzenét is, pályatársai közül énekelte többek között Juliette Gréco és Gilbert Bécaud számait, előadói stílusa másokra is hatott. Bár 2001-ben abbahagyta a rendszeres turnézást, időnként adott koncertet, több európai városban is fellépett, ő volt a legismertebb francia énekes külföldön.
A nők nagy rajongója volt, élete során háromszor nősült, házasságaiból három fia és három lánya született. Örmény származására mindig büszke volt, az 1988-as, több mint húszezer áldozatot követelő örményországi földrengés után gyűjtést indított a túlélők megsegítésére, ennek elismeréseként 1989-ben megkapta a francia Becsületrendet. Örményország nemzeti hősként tiszteli, nemzetközi kampányt is folytatott azért, hogy az Oszmán Birodalomban 1915-ben meggyilkolt másfél millió örmény halálát ismerjék el népirtásnak. Jerevánban 2011-ben róla elnevezett és részben róla szóló kulturális központot adtak át. Az énekes 2008-ban felvette az örmény állampolgárságot is, a következő évben Örményország svájci nagykövetévé nevezte ki, valamint az örmények állandó képviselője lett az ENSZ genfi központjában és az UNESCO-nál.
A zenészlegenda elmúlt kilencvenéves, amikor Encores (Vissza) címmel új albumot (2015) adott ki – ezt teljes egészében maga írta és hangszerelte. Utolsó éveiben is koncertezett, japán turnéjáról tért vissza, amikor a dél-franciaországi Mouries-ban található otthonában 2018. október 1-jén távozott az élők sorából. Párizsban állami tiszteletadással búcsúztatták többek között Emmanuel Macron francia államfő és Nikol Pasinján örmény kormányfő részvételével. Örményország is gyászolta leghíresebb szülöttét: a jereváni Aznavour téren emberek ezrei helyezték el virágaikat. Sírja a Párizs közelében található Montfort-l’Amaury temetőjében található.
A „sanzon Napóleonját” (rajongói nevezték el így alacsony termete miatt) 1995-ben a Francia Akadémia zenei díjával tüntették ki, két évvel később filmművészi pályájának elismeréseként tiszteletbeli César-díjjal, a legrangosabb francia filmes kitüntetéssel jutalmazták. 2016-ban tiszteletbeli hollywoodi csillagot kapott Los Angelesben, egy év múlva Jeruzsálemben átvehette a Raoul Wallenberg-emlékérmet a második világháborús hősiességéért: szülei Franciaország náci megszállásának idején zsidókat bújtattak, amiben nővérével ő is részt vett. 2017-ben Jerevánban megnyílt a róla elnevezett kulturális központ, ahol életét bemutató kiállítás is látható. 2018 márciusában Prágában a 25. Febiofest nemzetközi filmfesztiválon Kristián-díjjal ismerték el művészi pályafutását. Párizsban 2021-ben felavatták mellszobrát, két évvel később teret neveztek el róla. A fiával, Nicolasszal 2016-ban létrehozott Aznavour Alapítvány folytatva munkáját ma is oktatási, kulturális és humanitárius projektekben vesz részt.
