Szülei ismert színészek voltak, apja, Inke Rezső színházigazgató volt, aki vándortársulatával járta az országot. Anyja, Linke Ilona egyik filmfőszerepével bevonult a magyar filmtörténetbe, amikor a Megfagyott gyermek című némafilmben (1921) ő játszotta az anyát. Inke László így már egészen korán megszokta a színházi levegőt, bár először nem színész, hanem futballista vagy orvos szeretett volna lenni. Végül 1947-ben elvégezte az Országos Magyar Színművészeti Akadémiát (ma Színház- és Filmművészeti Egyetem), majd Debrecenbe szerződött. A következő évben már Miskolcon játszott, ahol még rövid időre megbízott direktor is volt, amikor az igazgató Komlós Jucit – férje disszidálása miatt – letartóztatták.
1949-ben a fővárosban, a Vidám Színpad társulatában lépett fel, egy év múlva azonban már Szegedre szerződött, ahonnan 1956-ban jött vissza Budapestre az akkor önállóvá vált József Attila Színházba. Alapító tagja lett a Váci úti teátrumnak olyan kiváló pályatársakkal, mint Békés Rita, Gyimesi Pálma, Kállay Ilona, Schubert Éva, Sütő Irén, Szemes Mari. Két év után a Petőfi (későbbi Thália) és a Jókai Színház társulatát erősítette, majd 1961-től haláláig a Kazimir Károly igazgatta Thália Színházban játszott. Fiatal korában Ádámot is eljátszotta Madách Imre tragédiájában, de később inkább karakterszerepeket osztottak rá.
Pályája során több mint másfél száz színdarabban láthatta őt a közönség, klasszikusok (Jean Racine, Katona József, Friedrich Schiller) művei mellett modern szerzők (Csurka István, Fejes Endre, Örkény István) darabjaiban is játszott.
A valóságban – a hozzá közelállók szerint – érzékeny, melegszívű ember volt, mellesleg négy gyermek édesapja. Első feleségétől, Ambrus Edit színésznőtől két fia, harmadik feleségétől, Garamszegi Márta színésznőtől két lánya született. (Második felesége Böröndy Kati színésznő volt.)
Bár évtizedeken át hű volt színházához, a Tháliához – amely 1991-ben az Arizona nevet vette fel –, tett egy kirándulást Zalaegerszegre (O'Neill Egy igazi úr című művének címszerepét alakította), s a Madách Imréről szóló önálló műsorával (Lelket keresek) járta az országot. Madách Imre a kedvenc szerzői közé tartozott, egész életében kutatta az életét.
Alispán volt A névtelen várban, török vezér az Egri csillagokban, kultúrház-igazgató a Nyulak a ruhatárban, főszerkesztő a Gyertek el a névnapomra című filmekben, valamint egyebek között szerepelt az Egy óra múlva itt vagyok…, a Robog az úthenger és a Linda című népszerű tévéfilmsorozatokban.
Jellegzetes orgánumára hamar felfigyeltek, az 1960-as évek közepétől szinkronizált, legalább kétszáz filmben. Ezek közül legemlékezetesebb az 1973 és 1978 között vetített Kojak című krimisorozat, melyben a címszerepet játszó görög-amerikai színésznek, a kopasz fejű, kissé mackós megjelenésű Telly Savalasnak kölcsönözte a magyar hangját. De az amerikai színészt több más filmjében – A piszkos tizenkettőben, a Kelly hőseiben vagy A halál ötven órájában – is ő szólaltatta meg magyarul. Alkatilag is nagyon hasonlított Savalasra, később ő maga is kopasz lett. Úgy tartotta, hogy sokkal kényelmesebb ez az állapot, mint hajat viselni. A hasonlóságot később ki is használta Szalkai Sándor rendező, amikor Inke főszereplésével forgatta az 1980-ban bemutatott Kojak Budapesten című krimivígjátékot, amely állítólag annyira elnyerte Telly Savalas tetszését, hogy mindenféle jogdíjról is lemondott.
Utolsó éveiben elszánt küzdelmet folytatott betegségével, a tüdőrákkal, 1992. február 29-én lépett utoljára színpadra Dürrenmatt Meteor című darabjának premierjén. Akkor negyvenfokos lázzal még az influenza is gyötörte, de vállalta az előadást, amely után mentőautó vitte a kórházba. Fél év múlva, 1992. augusztus 19-én hunyt el Budapesten, a Farkasréti temetőben helyezték végső nyugalomra.
Munkásságát 1956-ban Jászai Mari-díjjal, 1976-ban Érdemes Művész, 1983-ban Kiváló Művész címmel, 1992-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend kiskeresztjével ismerték el.
