Elszegényedett nemesi családból származott, apja szolgabíró volt. Hatévesen már latinul is írt és olvasott, iskolásévei alatt ehhez megtanult németül, franciául, olaszul, angolul, héberül és románul, s kívülről tudta (természetesen ógörögül) az Odüsszeia első tíz énekét. Fejszámoló tehetsége és zenei érzéke miatt csodagyereknek tartották, 14 jegyű számokból fejben vont négyzet- és köbgyököt. Tudásvágya olykor testi épségét is veszélyeztette, egy kísérlete során majdnem megvakult a berobbant lőportól.
A nagyenyedi református kollégiumban nevelkedett, 12 évesen a nála négy évvel fiatalabb Kemény Simon báró mentora volt Marosvécsen, akivel öt évig tanultak együtt a kolozsvári református kollégiumban.
Ekkor kezdett Eukleidész V., párhuzamossági posztulátumával, a „paralellákkal” foglalkozni, amelynek ellentmondását azonban csak fia, János oldotta meg. Kettejük nézeteltérései megkeserítették az apa életét, erről Németh László 1960-ban Apai örökség, 1961-ben A két Bolyai címmel írt drámát.
Bolyai 1799-ben gyalog tért haza. 1801-ben megnősült, és dolmáldi birtokán gazdálkodott, 1802-ben megszületett János fia. 1821-ben megözvegyült, három évvel később újra megnősült, és 1826-ban világra jött Gergely fia, de 1833-ban második feleségét is elvesztette. 1804-től 47 éven át tanított a ma nevét viselő marosvásárhelyi református kollégiumban matematikát, fizikát, kémiát és csillagászatot, de mivel sovány fizetéséből nem tudott megélni, fordított, gyászjelentéseket és verses nekrológokat írt (még sajátját is elkészítette), új fűtő- és főzőberendezéseket tervezett, kocsmát bérelt.
Foglalkozott filológiával, rajzzal, zeneelmélettel, 1817-ben jelent meg Öt szomorú játék című kötete, lefordította Alexander Pope Próbatétel az emberről (An Essay on Man) című művét, John Milton és Friedrich Schiller műveit. A kolozsvári színház pályázataira írta Pausianas, II. Mohamed és Kemény Simon című drámáit, amelyek a francia felvilágosodás hatását tükrözik, ám szónokiasságuk miatt nehezen adhatók elő. 1820-ban megírta az első magyar nyelvű erdészeti szakmunkát, amely csak 1911-ben jelent meg Erdészeti csonka munka címen. Írt könyvet a marosszéki lakodalmi szokásokról, jelent meg kötete német, latin és magyar nyelvű versekkel. 1839-ben camera obscurával fekete-fehér képeket rögzített, néhány hónappal megelőzve a dagerrotípia módszerének bejelentését. A Magyar Tudós Társaság (az MTA elődje) 1832-ben a természettudományi osztály levelező tagjának választotta meg.
Bolyai Farkas első matematikai műve, az Arithmetica eleje 1830-ban jelent meg. További tudományos művei: Az arithmetikának, geometriának és physikának eleje (1834), Arithmetica eleje kezdőknek (1850), Űrtan elemei kezdőknek (1851). Kurzer Grundriss (Rövid vázlat) című 1851-es, névtelenül megjelent művében fia elsőbbségét bizonygatja az abszolút geometriában az orosz Lobacsevszkijjel szemben.
A magasabb fokú egyenletek közelítő megoldására alkalmas Bolyai-algoritmus Heinrich Baltzer révén vált ismertté, a pozitív tagokból álló végtelen sorokra állította fel a ma Raabe nevét viselő konvergencia-kritériumot, ő ismerte fel először a De Morgan-féle kritériumskálát is. Eukleidész V. posztulátumának igazolásával egész életén át küzdött, de csak kilenc helyettesítő axiómáig jutott el, ugyanakkor – bár eleinte inkább óvta a reménytelennek látszó problémától – ő irányította rá fia figyelmét. Bolyai János a Tentamen függelékeként, Appendix. A tér abszolút igaz tudománya címen megjelent tanulmányában nem bizonyította, hanem mellőzte a párhuzamosok tételét, megalkotva a nemeuklidészi geometriát.
Jelentősek Bolyai Farkas megállapításai az aritmetika, a geometria és a halmazelmélet terén, valamint a végszerű területegyenlőség általa adott definíciója, amely szerint két síkterület akkor végszerűen egyenlő, ha véges számú, páronként egybevágó darabokra osztható.
Bolyai Farkas 1856. november 20-án halt meg, sírját évekig csak egy almafa jelölte a marosvásárhelyi református temetőben, ahol mellette nyugszik fia is.
Gauss-szal folytatott levelezését 1859-ben adták ki először, de a teljes magyar változat csak 2016-ban jelent meg. Az első monográfiát 1913-ban Paul Stäcker írta a két Bolyai munkásságáról. Nevét viseli egy kisbolygó, Kolozsvárott a Bolyai Társaság, a marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum és Református Kollégium előtt áll a két Bolyai szobra. A neves iskola Bolyai Farkas születésének 250. évfordulóján emlékkonferenciát rendez.
