Budapesti színházi dinasztiában született: apja Balázs János, a Magyar Rádió színész-rendezője, édesanyja Mednyánszky Henriett, az Operaház balerinája, aki húgával még a brit királyi család előtt is fellépett, nagynénje-keresztanyja Mednyánszky Ági színművésznő volt.
A budai Toldy Gimnáziumba járt, majd a Rákócziban érettségizett. Építészmérnöknek készült, gitározni tanult, aztán, bár apja ellenezte, mégis a színészetet választotta. 1961-ben első nekifutásra fölvették a Színművészeti Főiskolára, ahol Szinetár Miklós lett az osztályfőnöke; a Magyar Televízió kulturális produkcióival már főiskolásként kapcsolatba került. A diploma megszerzése után a veszprémi színház szerződtette, ahol négy évadot töltött el.
Várkonyi Zoltán 1970-ben hívta a budapesti Vígszínházba Ödön von Horváth Mesél a bécsi erdő című drámájának főszerepére, és már a sikeres főpróba után szerződtette. Balázs Péter negyedszázadon át maradt a körúti teátrum tagja, ez idő alatt több mint 140 színdarabban, félezernél több film- és televíziós produkcióban működött közre. Zömmel karakterszerepeket játszott, de megformált nagy formátumú alakokat is, mint például Máté Józsefet Németh László Égető Eszter című regényének televíziós változatában. Ott volt a Képzelt riport egy amerikai popfesztiválról című nagysikerű musical premierjén, színpadra lépett A padlás, a Kakukkfészek, a Játék a kastélyban, a Szent Johanna című darabokban. Önálló estjével évekig járta az országot, előbb Tahi Tóth Lászlóval, majd Schütz Ilával.
Noha volt Hamlet és III. Richárd is, népszerűségét elsősorban vígjátéki és kabarészerepeinek köszönheti. Alkata, jellegzetes hangja miatt szívesen hívták Vadnay László, Nóti Károly és mások bohózataiba, kabaréjeleneteibe, az ezekről készült tévéfelvételeket ma is gyakran vetítik. Ő volt a legendás rajzfilmfigura, a kétbalkezes Nagy ho-ho-ho horgász hangja, szinkronizálta Louis de Funès és Danny DeVito filmjeit, az Agatha Christie-krimik alapján készült Hercule Poirot-sorozatban a címszereplő az ő hangján szólalt meg magyarul.
Először 1989-ben rendezett, Dario Nicodemi Hajnalban, délben, este című kétszemélyes darabját állította színre Eszenyi Enikővel és a tragikusan korán elhunyt Kaszás Attilával. Ő rendezte a Bűvös szék című Karinthy-tévéfilmet, színházban a Hegedűs a háztetőn, a Csókos asszony, a Leányvásár, a Hyppolit a lakáj, a János vitéz, a Mirandolina című darabokat.
A Vígszínházból 1996-ban távozott, mert nem értett egyet azzal, hogy az intézmény letért a Várkonyi Zoltán által kijelölt művészeti útról, a pályát szabadúszóként kezdte újra. 2007-ben Szolnok polgármestere – miután a helyi színház vezetésére kiírt pályázat első körben nem volt eredményes – felkérte a teátrum vezetésére. A szolnoki képviselőtestület 2011 tavaszán egyhangú szavazással erősítette meg igazgatói tisztségében, majd 2015-ben újabb négy évre kapott megbízást. A színház vezetéséről 2021-ben köszönt le, tavaly Szolnok díszpolgára lett. 2013-ban Eszenyi Enikő mellett megpályázta a Vígszínház igazgatói székét, de tekintettel az őt ért támadásokra, a politikai csatározásokat elkerülendő, visszalépett. 2022 novemberében az ő rendezésében mutatták be Veszprémben László Miklós Illatszertár című vígjátékát.
A szolnoki Szigligeti Színházat sikerült széles skálájú, színvonalas és a nézők által szeretett repertoárszínházzá alakítania. Az előadások szinte kivétel nélkül telt házzal futottak, a vígjátékok, zenés darabok mellett többek közt Shakespeare és Dürrenmatt drámái is műsoron szerepeltek. A színház 2010-ben új létesítménnyel gazdagodott, a régi szobaszínház kívül-belül felújított épületében létrejött Szín-Mű-Helyben kamaratermet, stúdiókat és üzleteket alakítottak ki. A szolnoki színház alapító tagja volt a 2008-ban létrejött Magyar Teátrumi Társaságnak.
Balázs Péter művészi pályája elismeréseként 1982-ben Jászai Mari-díjat, 1994-ben Pro Comedia díjat vehetett át. 2012-ben Kossuth-díjat kapott „nagy népszerűségnek örvendő, groteszk bájjal és fanyar humorral megformált emlékezetes alakításaiért, mesefilm-figurákat legendássá tevő szinkronizálásáért, igényes rendezői munkássága, közösséget kovácsoló színházteremtő-vezető tevékenysége elismeréseként”. 2018-ban a magyar kultúra napja alkalmával megkapta a hódmezővásárhelyi önkormányzat Bessenyei Ferenc Művészeti Díját. 2019-ben Budapest Díjban részesült.
Ő maga így vallott: „Színész vagyok, és az is maradok, egy évben egyszer magamnak is osztok szerepet. Persze nem a Lear királyt, csak azért, mert megtehetném. Egyszerűen nem nekem való. Én mindig is a család színésze voltam, sok műfajban kipróbáltam magam, és azért vállalok még mindig szinkronszerepeket, fellépéseket, mert olyan jó dolog a közönség szemébe nézni.”
Fotó: Zih Zsolt / MTI
