A partiumi Nagybányán született 1944-ben, a család nem sokkal később Szegedre települt át. Testvére Boncz István pszichiáter, egyetemi docens (1943–2019), unokaöccse Boncz Ádám színész. Boncz 1961-ben szerzett műszaki kereskedői képesítést, bolti eladóként, raktári segédmunkásként dolgozott. 1970-ben leérettségizett, ezután egy ideig a Szegedi Orvostudományi Egyetem (ma Szegedi Tudományegyetem Szent-Györgyi Albert Orvostudományi Kar) klubját vezette. Az író Temesi Ferenc nógatására küldte be az első Humorfesztiválra egy írását, de a zsűri az első fordulóból nem engedte tovább. Műve mégis nagyon tetszett Marton Frigyes rendezőnek, aki a második fordulóban a Párizsi történet című rövid humoreszket odaadta Bodrogi Gyulának, hogy olvassa fel. A rövid szösszenet hatalmas sikert aratott, Boncz végül a harmadik helyen végzett és az egész ország megismerte a nevét. Ettől kezdve haláláig a rádiókabaré rendszeres szereplője, szerzője volt. 1975-től Budapesten élt, majd 1980-ban megnősült, két fia született.
A Boncz Mesterként is emlegetett humorista az abszurd, elvont humor képviselőjének tartotta magát, mint mondta: ez olyan, mint a burleszkfilmben a tortadobálás, csak az általa elindított torta helyett paradicsom érkezik. Gobbi Hilda a kezdetek kezdetén megállapította róla: „…olyan, mint amikor a szódavíz az ember orrát csiklandozza, és mindenképpen röhögni kell”.
Sajátos szóficamokkal, váratlan képzettársításokkal („A remény és a lepényhal meg utoljára…; Éljen a megbonthatatlan szovjet-magyar konzerv!; Éljen az omnibusz tetején…”) teletűzdelt magánszámokat írt és adott elő, társaságban csak úgy szórta a poénokat, amelyek közkinccsé lettek, szájról szájra terjedtek, ötleteit másoknak is szívesen kölcsönözte. Írni azonban saját bevallása szerint lusta volt, csak azt csinálta meg, amihez kedve volt. A humoristák közül „kimagasló”, mintegy 190 centiméter magas Boncz egyedi előadásmódjával is nevettetett. Meggyőződése volt, hogy a közönség mindig nagyon jó, és ő csinált valamit rosszul, ha az embereknek nem tetszett a műsora. Állandó társszerkesztője volt a Markos-Nádas duónak, a két Györggyel a második Humorfesztiválon aratott győzelmük után, 1982-ben triót is alakított. A hármas a magyar humor egyik legismertebb és legnépszerűbb csapata lett, rögtönzésekkel teli fellépéseik a színpadon és tévéképernyő előtt fergeteges sikert arattak. Kőbe zárt lélek című „őrületük” a magyar kabaré egyik alapműve, az 1991-ben megjelent Csak 18 éven felülieknek!, valamint az 1995-ös Még jó, hogy bele nem léptünk című nagylemezük pedig aranylemez lett.
Boncz Gézát, aki saját bevallása szerint utálta a politikai humort, a közönség láthatta a Mikroszkóp Színpad (ma a Thália Színház játszóhelye Mikroszínpad néven) kabaréiban, a televízió szórakoztató műsoraiban és az ország több ezer színpadán, pódiumán. 1983-ban Fogarasi János zongoristával és Lehr Ferenc zenész-humoristával megalakította az Atléta Triót, amely elsősorban zenei paródiákat játszott. 1987-ben jelent meg szerzői nagylemeze, összegyűjtött humoreszkjeit Az őrület határa című könyvében publikálta a következő mottóval: „Reggel arra ébredtem, hogy a szomszéd szobában a takarítónő az őrület határát súrolja”. Állandó munkatársa volt a Hócipő című szatirikus lapnak, 1992-ben csatlakozott az Aladdin és a Skodalámpa elnevezésű humorista zenekarhoz is. Később Nádas Györggyel fűzte szorosabbra kapcsolatát, több fellépést és lemezt készítettek közösen. 2000-ben jelentették meg a Fogjuk a hasunkat. Jókedvű szakácskönyv című kötetet.
A poéngyárost, akinek neve fogalommá vált a szórakoztató műfaj világában, 1994-ben Karinthy-gyűrűvel tüntették ki, háromszor (utoljára 2000-ben posztumusz) is megkapta a Bonbon díjat (a Magyar Rádió díja volt) mint aki legtöbbet tett a hallgatók szórakoztatásáért.
Tíz év betegeskedés – és részben alkoholfogyasztása miatt – állapota válságosra fordult, és 56. születésnapja után egy nappal, 2000. október 21-én meghalt. A Farkasréti temetőben nyugszik. 2006-ban emléktáblát avattak fel egykori szegedi lakhelyénél. Fia, Boncz Dániel összeállításában 2007-ben könyv jelent meg róla Ilyen a Boncz! Történetek Boncz Gézáról címmel. Születésének hetvenedik évfordulóján Szegeden, ahol személye és humora élénken él a helybéliek emlékezetében, emlékestet rendeztek.
