Budapesten jött a világra, diplomata apjával Európa egyik országából a másikba költöztek, így elemi iskoláit Münchenben, a gimnázium alsó négy osztályát Konstantinápoly egyik francia nyelvű jezsuita iskolájában, az ötödiket Budapesten végezte, az érettségit pedig Zürichben tette le. A vándorélet következményeként tanult ugyan németül, franciául, olaszul, de akkor még egyik nyelvet – a magyart sem – beszélte tökéletesen. Kiváló zenei tehetséggel rendelkezett, némi tanulással zongoraművész lehetett volna, őt azonban a természettudományok vonzották. A berni egyetemen szerzett vegyészdiplomát 1921-ben, két évvel később Budapesten, a Pázmány Péter Tudományegyetemen (ma Eötvös Loránd Tudományegyetem) fizikából doktorált.
Kutatásaihoz a jól felszerelt laboratóriumot a Posta Kísérleti Állomáson találta meg, ahová – fizikusi állás nem lévén – laboránsként vették fel, később postamérnök lett. Feladata a nemzetközi telefonösszeköttetések hangátvitelének javítása volt; a probléma mélyebb összefüggéseinek feltárása ösztönözte a hallás kérdéseinek tisztázására.
Postamérnökként a rádióstúdiók méretezésével, akusztikai megoldásaival is foglalkozott, az 1930-as években, a hangosfilm elterjedése idején akusztikai tanácsokat adott mozik kialakításához. 1933-ban a Pázmány Péter Tudományegyetem magántanára lett, a postánál végzett kutatómunkája mellett 1940-től a gyakorlati fizikai tanszék professzora volt. 1939-ben a Magyar Tudományos Akadémia levelező, 1946-ban rendes tagjai közé választották.
A második világháborúban, Budapest ostroma során Békésy laboratóriumával együtt kéziratai, kutatási eredményei is elpusztultak, ezért 1946-ban elfogadta a stockholmi Karolinska Intézet ösztöndíját. Amikor a hazai hatóságok nem engedélyezték tartózkodási engedélyének meghosszabbítását, rájött, hogy Magyarországon nem olyan politikai rendszer készül, amelyet elképzelt. 1947-ben az Egyesült Államokba költözött, a Harvard Egyetemen a pszichoakusztikai (1963-tól pszichofizikai) laboratórium vezető kutatója lett.
Békésy felismerte, hogy az emberi fül szinte tökéletes műszer, ám a telefonhallgató teljesítménye messze elmarad mögötte. Megcáfolta a Helmholtz nevéhez fűződő halláselméletet, mely szerint a hangmagasságérzetet a belső fül szőrszálainak rezonanciája kelti, kimutatva, hogy ebben döntő szerepe a belső fület kitöltő folyadék állóhullámainak van. A belső fül elektrokémiai vizsgálataival megalkotta a belső fül csigájának modelljét, bebizonyítva, hogy a hangelemzés már a csigában létrejön, az agyban csak finomodik. Rájött arra is, hogy a hangot nemcsak a levegőn át, hanem fejünk csontjainak közvetítésével is érzékeljük, s ez utóbbi hang a mélyebb, ezért halljuk saját hangunkat magnószalagról visszahallva magasabbnak, idegenszerűnek.
Ugyancsak ő fedezte fel, hogy szervezetünkben gátló, védő berendezések is vannak, amelyek a bennünket érő sok külső inger közül némelyeket elnyomnak, így például nem halljuk a szervezetünk működésével, a vérkeringéssel vagy a lélegzéssel járó zajokat. A belső fül károsodásának vizsgálatára kidolgozta az úgynevezett Békésy-audiometriát – e módszerrel már nagyon korán kimutatható a szerv károsodása.
Számos kitüntetése mellett 1961-ben kapta meg a legnagyobbat: az orvosi-élettani Nobel-díjat „a belső fül, a csiga ingerlésének fizikai mechanizmusával kapcsolatos felfedezéseiért”. Békésy csendes, visszahúzódó természetének nem felelt meg az amerikai életstílus, ezért 67 éves korában – főleg egészségi okokból – Hawaiin telepedett le, ahol a honolului egyetemen az Érzékszervi Kutatólaboratórium professzora lett. Itteni vizsgálatait a tapintással és az ízleléssel való érzékelésre is kiterjesztette. Szabadidejét az indián és a keleti műtárgyaknak szentelte. Soha nem nősült meg, magyar állampolgárságát megtartotta, de már nem látogatott haza. Amikor 1972. június 16-án elhunyt, hamvait hawaii szokás szerint gitárok hangjaira szórták a Csendes-óceán hullámaiba. Egyik tanár kollégája és barátja így jellemezte: „Ő volt az utolsó nagy reneszánsz férfi, igazi mestere az életnek, a tudománynak és a művészetnek”. Egykori budapesti lakóházának falán 1999-ben felavatták emléktábláját, tiszteletére 2022-ben – a magyar Nobel-díjasokat bemutató sorozat keretében – emlékérmet bocsátott ki a Magyar Nemzeti Bank. A Postamúzeum diósdi Rádió- és Televíziómúzeumában állandó kiállításon őrzik emlékét és tudományos hagyatékát.
