1762. július 26-án született Kecskeméten. Életének korai szakaszáról keveset tudni: vélhetőleg a piaristáknál tanult, majd jogot végzett. Tanulmányai során külföldön is megfordult, és Schiller, Beaumarchais műveivel megismerkedve döbbent rá a színjátszás jelentőségére és a nemzeti öntudatra gyakorolt hatására. Tanulmányainak befejezése után a gödöllői Grassalkovich-birtok ügyésze lett, és tisztes jómódra tett szert.
A „kalapos király”, II. József 1790-es halála utáni hazafias hangulatban Pestre sietett, hogy elősegítse a magyar nyelvű színjátszás megteremtését. „Mi által lehetne inkább társalgóvá tenni e nyelvet, mint színészet által? A gondolat igévé vált bennem, az igét testesíteni vágytam” – írta elhatározásáról. Inkább lelkes, mint rátermett fiatalokból szervezett társulatának megszerezte Pest vármegye és az 1790-ben összeült országgyűlés jobbára csak szavakban megnyilvánuló támogatását, és azt is elérte, hogy Zichy Károly országbíró utasítására a budai és pesti német színházat bérlő Emanuel Unwerth gróf kénytelen-kelletlen fellépési lehetőséget biztosítson számukra a német társulat szünnapjain.
Igény lett volna a magyar nyelvű színházra, de a német konkurencia erősebbnek bizonyult
Kelemen vezetésével 1790. szeptember 21-én alakult meg a Magyar Nemzeti Játékszíni Társaság, és október 25-én mutatkozott be a zsúfolásig telt budai Várszínházban – azóta teszik erre a napra a magyar nyelvű színjátszás kezdetét. Az első magyar szavak a színpadon Simai Kristóf Igazházi című darabjának bemutatóján hangzottak el. A társulat eredetileg a Hamlet Kazinczy-féle fordítását akarta előadni, de a színészek túl nehéznek találták a tragédiát, ezért esett a választás a vígjátékra.
Az előadást két nappal később a pesti Rondellában megismételték, s a közönség ekkor is kitörő lelkesedéssel ünnepelte a színészeket. Több előadásra azonban ekkor nem kerülhetett sor, mert az üzleti konkurenciát gyanító német színháztulajdonos azonnali hatállyal visszavonta a társulat játszási engedélyét.
Kelemennek sikerült szabadalomlevelet kieszközölnie, amely biztosította, hogy az ország bármely városában magyar nyelvű előadást tarthassanak. Utolsó pénzén az akkori hajóhíd budai végénél, a mai Várkert Kioszknál épített színpadot egy raktárban. A társulat a „budai arénában” 1792. május 5-től folyamatosan játszott, először Bárány Péter németből magyarított, A talált gyermek című vígjátékát adta elő. 1796 tavaszáig 155 előadást tartottak, a többi közt bemutatták az első magyar nyelvű daljátékot is, Chudy József Pikkó herceg és Jutka Perzsi című „szomorú vígoperáját”.
Kelemen még kántori állásáról is lemondott, hogy minden idejét a magyar színészet ügyének szentelhesse. Kilincselt a hatóságoknál, beadványokat szerkesztett, pénzt gyűjtött, az előadott művek nagy részét ő ültette át magyarra, tucatnyi német színmű mellett lefordította Molière Képzelt betegét, Shakespeare Othellóját, és egyházi zenéket is szerzett. Az első magyar színi előadáson az Igazházi verbunkos káplárját ő jelenítette meg – a feljegyzések szerint igen jó, ösztönös színész volt, különösen a komikus és katonás szerepek illettek hozzá. Egyik legsikeresebb alakításaként Bessenyei György A filozófus című darabjában Pontyi ruháját vette magára. Mindezek mellett egyházi zenéket is szerzett.
A színházi pálya kényszerű elhagyása
A magyar jakobinusok összeesküvésének leleplezése után az udvar a színészeket „a magyar rebellió szítói”-nak minősítette, működésüket ellehetetlenítette. Ehhez járultak az anyagi nehézségek és a belső viszálykodás, így a társulat 1796 áprilisában feloszlott, csak adósságot hagyva hátra.
Kelemen László visszatért a polgári életbe, Nagyváradon lett tisztviselő. A színház iránti lelkesedése ugyanakkor mit sem csökkent, így 1799-ben, Kolozsvárott újra színházszervezésbe fogott. Próbálkozott ezután Nagyváradon, Szegeden is, bejárta az egész országot, de kísérletei balul végződtek. 1801-ben Losoncon adósságai fejében lefoglalták minden színi kellékét és vagyonát, csak kölcsönpénzen tudott elvergődni Ráckevére, ahol kántortanítói állást vállalt. Innen Makóra, majd a Csongrád megyei Csanádpalotára költözött, ahol a templom orgonista kántora volt. Ott is halt meg 52 éves korában, 1814. december 24-én, amikor a fagyos úton árokba borult a kocsija.
Hamvai a település temetőjében nyugszanak, sírja körül ma kegyeleti park van, alakját Petőfi versben, Jókai színműben örökítette meg. Pályatársa, Szigligeti Ede írta róla: „Mint ügyvéd kevesebb ésszel és szorgalommal jószágokat szerezhetett, vagy mint pesti tanácsos pár év alatt kétemeletes házat építhetett volna; de mivel a magyar színészet megteremtője, igazgatója és tagja volt, vagyonát áldozta fel.”
Kelemen László emléke
Csanádpalotán róla nevezték el a város főterét és a művelődési házat, nevét Budapesten is utca őrzi. Az 1990-es évek második felében ismert színészek megalakították a Kelemen László Színkört, amely azonban csak rövid ideig működött. Szülővárosában nevét őrzi a Katona József Színház kamaraszínháza, Szegeden pedig a színitanoda. 2015-ben a Szegedi Nemzeti Színházban volt az ősbemutatója a Színészköztársaság című kortárs drámának, amely neki és az első hivatásos magyar színtársulatnak állít emléket. Halálának 200. évfordulójára Színházi vándorok címmel zenés játékot írtak, amelyet a Kecskeméti Katona József Színházban mutattak be.
