Édesapja, Szirtes László Lakner bácsi Gyermekszínházának táncmestere, táncoskomikusa és segédrendezője volt, később filmgyári felvételvezetőként olyan filmekben dolgozott, mint a Nem élhetek muzsikaszó nélkül (1935) vagy az Érik a búzakalász (1938). A második világháború után csaknem húsz filmben dolgozott gyártásvezetőként, köztük a Valahol Európában (1947), a Beszterce ostroma (1948), a Rokonok (1954), a Budapesti tavasz (1955) és a Mese a 12 találatról (1956) című alkotásokban.
Szirtes Tamás 1968-ban végezte el a Színház- és Filmművészeti Főiskola színházrendezői szakát Major Tamás osztályában, majd a budapesti József Attila Színházban kezdett el dolgozni. 1972-ben a Miskolci Nemzeti Színház tagja lett, ahonnan egy év után a fővárosi Madách Színházhoz szerződött. 1977 és 2005 között a Színház- és Filmművészeti Főiskola (2000-től Egyetem) tanára volt.
2004-ben kinevezték a Madách Színház igazgatójává, ami egyben az Erzsébet körúti teátrum profilváltásával járt. Vezetése alatt az intézményben 25 musical, zenés játék kapott helyet a repertoáron.
Elsőként Dürrenmatt Herkules és az Augiász-istálló című vígjátékát állította színpadra 1967-ben, amelyet egy évvel később Claude Magnier Mona Marie mosolya című zenés darabja és Kopányi György Neveletlen példakép című vígjátéka követett. A pályán eddig eltöltött több mint öt és fél évtized alatt évente átlagosan három-négy előadást vitt színpadra, de volt olyan év, amikor rendezőként hét előadást jegyzett. Bemutatóinak száma a darabfelújítások nélkül is megközelíti a százat.
Repertoárján klasszikus és modern szerzők – Brecht, Agatha Christie, Goldoni, Rolf Hochhuth, Hubay Miklós, Victor Hugo, Janikovszky Éva, Karinthy Ferenc, George S. Kaufman, Moldova György, Molière, Molnár Ferenc, Müller Péter, Nemeskürty István, Németh László, Ránki György, Sarkadi Imre, Jean-Paul Sartre, Shakespeare, Neil Simon, Bernard Slade, Szakonyi Károly, Szép Ernő, Szomory Dezső és Oscar Wilde – művei egyaránt szerepeltek.
Élete legmeghatározóbb produkciójának a magyarországi musicaljátszás egyik legnagyobb sikerét, a Macskák bemutatását tartja, ez egyben pályájának egyik csúcsa. Andrew Lloyd Webber zeneszerző T. S. Eliot verseiből írt, Romhányi József által magyarra fordított és Seregi László koreográfiájával előadott musicaljét 1983. március 25-én láthatta először a közönség a Madách Színházban. „A színházban mindig a teljesség érdekel, amikor a színházcsinálás valamennyi eszközét tudom használni, azaz a látványt, az irodalmat, ami az alapanyag és a zenét” – nyilatkozta erről.
A darab színpadra állítási jogát úgy kapta meg, hogy Shakespeare Sok hűhó semmiért című művének előadása a Madách Színházban megtetszett néhány itt filmező brit színésznek, és a rendezőt ajánlották Webbernek. Az 1981. évi londoni és az azt követő Broadway-bemutató után a budapesti volt a Macskák harmadik, egyben első nem angol nyelvű premierje. A darab a magyar színházi életben egyedülálló módon több mint négy évtizede van műsoron eredeti rendezésben és koreográfiával, többször felújították, előadták a szegedi Dóm téren és a nyíregyházi Szabadtéri Színpadon is. Az eddigi 1600 előadásra eddig több mint 1,5 millió néző váltott jegyet, a különböző szerepekben mintegy 300 művésznek tapsolt a közönség.
Szirtes 1984-ben színre vitte John Kander és Fred Ebb Kabaré című musicaljét, amely Bob Fosse 1972-es filmjeként is világsikert aratott. A Macskák sikere után Webber több musicaljének hazai megrendezésére nyert jogot, mint a József és a színes szélesvásznú álomkabát, Az Operaház fantomja, a Jézus Krisztus szupersztár vagy a Rocksuli. Emellett olyan zenés darabokat vitt színre, mint a Nyomorultak, a Chicago, a Producerek, a Monty Python Gyalog-galoppjából készült Spamalot, a Mary Poppins vagy a Napsugár fiúk. 2014-ben színpadra alkalmazta az ABBA együttes dalain alapuló Mamma Mia! című musicalt, 2023-ban pedig megrendezte a Bryan Adams zenéjével készült Pretty Woman (Micsoda nő!) című, a nagy sikerű film nyomán született musicalt, valamint a VIII. Henrik hat feleségének történetét elmesélő Six című koncertmusicalt.
Televíziós műsorokat, színházi tévéadaptációkat és filmeket is jegyez (Leánykérés éjjel kettőkor, Egy hónap falun).
2009-ben és 2011-ben a Csillag születik című tehetségkutató műsor zsűritagja volt.
1974-ben elnyerte a Veszprémi Televíziós Fesztivál első díját, munkásságát 1981-ben Jászai Mari-díjjal ismerték el. 2006-ban megkapta a Színikritikusok díját és a Pro Urbe Budapestért díjat, 2008-ban Nádasdy Kálmán-díjat vehetett át. 2009-ben Kossuth-díjjal tüntették ki az európai színvonalú zenés színjátszás megteremtése érdekében végzett tevékenységéért, az újszerű és hagyományos rendezői módszereket magas szinten elegyítő művészetéért, valamint művészetpedagógiai munkásságáért.
Az általa vezetett Madách Színházról Rényi Ádám és Bárdos András írt könyveket.
